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Einleitung
Frege und die Entwicklung der Logik
- Die Logik vor Frege
- Freges Beitrag
- Die Logik nach Frege
Logik und Mengenlehre
Syntax und Semantik
Axiome
Axiome
Wie bereits erwähnt, war es Freges Ziel, die Mathematik durch die Logik zu erklären. er war auf der Suche nach einem minimalen Gerüst, aus dem sich alles weitere logisch einwandfrei nachvollziehbar ableiten läßt. Möglichst minimal, natürlich vollständig und widerspruchsfrei sollte diese Ausgangssituation sein:
Ein Axiomensystem.
Freges Arbeiten haben Untersuchungen zur Formalisierung der Logik und Mathematik entscheidend beeinflußt, obwohl oder vielleicht gerade weil sein Gerüst nicht erfolgreich war. Wir sprechen heute davon, daß eine Theorie axiomatisierbar ist, wenn man ein Axiomensystem aufstellen kann, aus dem sich alle wahren Aussagen der Theorie ableiten lassen. Nach Frege wurde dann erkannt, daß sich nicht alles axiomatisieren läßt.
Wo ist der Einfluß auf die Informatik? Axiomensystem spielen in der formalen Spezifikation von Software eine große Rolle. Eigenschaften der auf solche Weise spezifizierten Software lassen sich nämlich formal beweisen, was insbesondere für sicherheitskritische Anwendungen wichtig ist. Als Beispiel betrachten wir Spezifikationen auf der Basis funktionaler Programmiersprachen. Dabei wird in Funktionsdefinitionen programmiert. In Analogie zur Logik Freges schreiben wir hier ein Axiomensystem in einer funktionalen Sprache auf:
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data Wahrwert = wahr |
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dec nicht : Wahrwert -> Wahrwert; |
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dec imp: Wahrwert X Wahrwert -> Wahrwert; |
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--- imp(wahr, x) <= x; |
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--- imp(x,wahr) <= wahr; |
Dabei kann das Wort "wahr" nicht weiter definiert werden, also wird es als Grundelement des Begriffs (Typ) Wahrwert definiert. "wahr" ist somit eine Konstante, die als Argument für die Funktionen "nicht" bzw. "imp"(-likation) benutzt werden kann. Frege bemerkte zum Wort "wahr":
"Für die Logik kann das Wort "wahr" dazu dienen, ein solches (Ziel) kenntlich zu machen, in ähnlicher Weise wie "gut" für die Ethik und "schön" für die Ästhetik. ...
Es wäre nun vergeblich, durch die Definition deutlicher zu machen, was unter "wahr" zu verstehen sei. ...
Wahrheit ist offenbar etwas so Ursprüngliches und Einfaches, daß eine Zurückführung auf noch Einfacheres nicht möglich ist."
Das Axiomensystem besteht somit aus der Festlegung Dinge, die sich nicht auf Einfacheres zurückführen lassen, der Datentypen (Begriffe im Sinne Freges) und Funktionsdefinitionen, die als Axiome fungieren.
Nun beschäftigt sich die Informatik nicht damit, die Logik noch einmal zu definieren. Ein weiteres Axiomensystem zeigt einen in der Informatik häufig benutzten Datentyp, einen sogenannten Keller. Die Eigenschaft eines solchen Kellers besteht darin, daß man Elemente speichern (push) kann, aber immer nur das zuletzt gespeicherte Element wieder betrachten (top) bzw. auch entfernen (pop) kann.
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typevar Elem; |
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data stack == emptystack ++ st(Elem X stack); |
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dec init : stack; |
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dec push: stack X Elem -> stack; |
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dec top : stack -> Elem; |
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dec pop : stack -> stack; |
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--- init <= emptystack; |
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--- push(x,e) <= st(e,x); |
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--- top(st(e,x)) <= e; |
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--- pop(st(e,x)) <= x; |
Aufgrund dieser Axiome können dann Ergebnisse und Eigenschaften abgeleitet werden. Auch hier wieder eine eher ungeahnte Verbindung zum Werk Freges.
Freges Ideen leben weiter, wenn man sich die Wirkung seiner Arbeiten bis in die heutige Zeit hinein vor Augen führt. Es bestand nicht der Anspruch, Freges Werk in sener Gesamtheit zu würdigen. Vielmehr sollten insbesondere die Leistungen Freges dargestellt werden, die heute in der Informatik zu spüren sind:
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Frege |
Informatik |
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Begriffsschrift(Logik) |
Logische Programmierung |
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Begriff(Menge) |
Datentypen/Typtheorie |
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Grundgesetze der Arithmetik/ Axiomensysteme |
formale Spezifikationen/ |
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Sinn und Bedeutung |
Syntax und Semantik von Programmiersprachen |
Es gibt wohl mehr als historische Gründe, sich mit dem Werk von Gottlob Frege auseinanderzusetzen. Es bleibt zu hoffen, daß auch die Herausgeber deutscher Lexika die Bedeutung dieses großen deutschen Mathematikers und Logikers entsprechend einschätzen. Während die Encyclopæ dia Britannica in ihrer Ausgabe von 1997 Gottlob Frege eine ganze Seite widmet (zum Vergleich Boole eine halbe Seite), wird Frege im Brockhaus mit ganzen 12 Zeilen bedacht. Dafür wird George Boole im deutschen Lexikon ausführlicher (28 Zeilen) behandelt. Wie war das doch noch mit dem Philosphen im eigenen Land?